题目内容

函数f（x）=4^x-2^x+1+3的定义域为x $数学公式$ ．
（Ⅰ）设t=2^x，求t的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

解：（Ⅰ）∵t=2^x在x $\text{[math]}$ 上单调递增
∴t∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]…
（Ⅱ）函数可化为：f（x）=g（t）=t²-2t+3
∵g（t）在[ $\text{[math]}$ ，1]上单减，在[1， $\text{[math]}$ ]上单增…
比较得g（ $\text{[math]}$ ）＜g（ $\text{[math]}$ ），
∴f（x）_min=g（1）=2，f（x）_max=g（ $\text{[math]}$ ）=5-2 $\text{[math]}$ …
∴函数的值域为[2，5-2 $\text{[math]}$ ]…
分析：（Ⅰ）由题意，可先判断函数t=2^x，x $\text{[math]}$ 单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；
（II）由于函数f（x）=4^x-2^x+1+3是一个复合函数，可由t=2^x，将此复合函数转化为二次函数g（t）=t²-2t+3，此时定义域为t∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数f（x）的值域．
点评：本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用