Question

设函数f（x）=4x+cosx，{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=10π，则[f(a3)]2-a1a5=（　　）

• A．

  π2

  16

• B．

  61π2

  16

• C．

  65π2

  16

• D．无法确定

Answer 1

分析：由f（x）=4x+cosx，又{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，可求得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=20a₃+cosa₃（1+

2

+

2+ 2

），可求得a₃=

π

2

从而可求得答案．

解答：解：∵f（x）=4x+cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=4（a₁+a₂+…+a₅）+（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅），
∵{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，
∴a₁+a₂+…+a₅=5a₃，由和差化积公式可得：cosa₁+cosa₂+…+cosa₅
=（cosa₁+cosa₅）+（cosa₂+cosa₄）+cosa₃
=[cos（a₃-

π

8

×2）+cos（a₃+

π

8

×2）]+[cos（a₃-

π

8

）+cos（a₃+

π

8

）]+cosa₃
=2cos

(a3- π 4 )+(a3+ π 4 )

2

cos

(a3- π 4 )-(a3+ π 4 )

2

+2cos

(a3- π 8 )+(a3+ π 8 )

2

cos

(a3- π 8 )-(a3+ π 8 )

2

+cosa₃
=2cosa₃•

2

2

+2cosa₃•cos（-

π

8

）+cosa₃
=cosa₃（1+

2

+

2+ 2

），
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=10π，即20a₃+cosa₃（1+

2

+

2+ 2

）=10π，
∴cosa₃=0，a₃=

π

2

∴[f(a3)]2-a1a5=(2π)2-(

π

2

-

π

4

)(

π

2

+

π

4

)=

61π2

16

故选B

点评：本题考查数列与三角函数的综合应用，求得cosa₃=0，a₃=

π

2

是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．