题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=1， $数学公式$ （n∈N^*）．
（1）设 $数学公式$ ，求证：{b_n-3}成等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
代入 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，
∴2b_n+1=b_n+3．…（5分）
∴2（b_n+1-3）=b_n-3，又 $\text{[math]}$ ，则b₁-3=2≠0．…（7分）
∴{b_n-3}是以2为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．…（8分）
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，…（10分）
则 $\text{[math]}$ ．…（13分）
分析：（1）通过已知的关系式，推出b_n+1与b_n的关系，然后证明{b_n-3}成等比数列；
（2）利用（1）求出b_n，的表达式，然后转化为数列{a_n}的通项公式a_n．
点评：本题是中档题，考查数列特征的判断，考查逻辑推理能力，计算能力．

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