Question

（1）用数学归纳法证明1+4+7+…+(3n-2)=

1

2

n(3n-1)
（2）用数学归纳法证明：

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

n

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）利用数学归纳法的证题步骤分当n=1时证明等式成立，假设当n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可；
（2）当n=1时，证明左边

1

1×3

与右边

1

2×1+1

相等，假设n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可．

解答：证明：（1）①当n=1时，左边=3×1-2=1，右边

1

2

×1（3×1-1）=1，左边=右边，等式成立；
②假设当n=k时等式成立，即1+4+7+…+（3k-2）=

1

2

k（3k-1），
则当n=k+1时，
1+4+7+…+（3k-2）+[3（k+1）-2]
=

1

2

k（3k-1）+[3（k+1）-2]
=

1

2

（3k²+5k+2）
=

1

2

（k+1）（3k+2）
=

1

2

（k+1）[3（k+1）-1]，
即n=k+1时，等式也成立；
综合①②知，对任意n∈N^*，等式成立．
（2）证明：①当n=1时，证明左边=

1

1×3

，右边=

1

2×1+1

，左边=右边，等式成立；
②假设当n=k时等式成立，即

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2k-1)(2k+1)

=

k

2k+1

，
则当n=k+1时，

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2k-1)(2k+1)

+

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

=

k

2k+1

+

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

=

k(2k+3)+1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

=

(k+1)(2k+1)

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

=

k+1

2k+3

=

k+1

[2(k+1)+1]

，
即当n=k+1时，等式也成立；
综上知，对任意n∈N^*，等式

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

n

2n+1

恒成立．

点评：本题考查数学归纳法，着重考查利用数学归纳法证明问题，考查推理与逻辑思维能力，属于中档题．