Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图象经过原点，f′（1）=0若f（x）在x=﹣1取得极大值2．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）若对任意的x∈[﹣2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，求m的最大值．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）本题是据题意求参数的题，题目中x=﹣1时有极大值2，且f′（1）=0，函数图象过原点，可转化出4个等式，利用其建立方程求解即可得函数y=f（x）的解析式．

（2）对任意的x∈[﹣2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，可知当x∈[﹣2，4]时恒有f（x）≥f′（x）+6x+m，将问题转化为m≤f（x）﹣f′（x）﹣6x恒成立，再利用常数分离法进行求解．

解答：

解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），

∵x=﹣1时有极大值2，∴f′（﹣1）=3a﹣2b+c=0     ①

又f（0）=d=0     ②

f′（1）=3a+2b+c=0      ③

f（﹣1）=﹣a+b﹣c=2      ④

①②③④联立得  a=1，b=0，c=﹣3，d=0．

故函数f（x）=x³﹣3x²．

（2）∵f（x）≥f′（x）+6x+m，

∴m≤f（x）﹣f′（x）﹣6x，令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣6x=x³﹣3x²﹣9x+3，∴g′（x）=3x²﹣6x﹣9，

令g′（x）=0，得x=﹣1或x=3，

∴g（x）在[﹣2，﹣1]内单调递增，在[﹣1，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增，

∴g（x）_min=g（3）=﹣24；

∴m≤﹣24，即m_max=﹣24．

点评：

本小题考点是导数的运用，考查导数与极值的关系，本题的特点是用导数一极值的关建立方程求参数﹣﹣﹣求函数的表达式．