Question

已知函数f（x）=log₂x（x＞1）的反函数为f^-1（x），若f^-1（a）•f^-1（4b）=2，则

1

a

+

1

b

的最小值是（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

考点：反函数

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意，函数f（x）=log₂x（x＞1）的反函数为f^-1（x）=2^x，（x＞0）；从而可得a+4b=1，（a＞0，b＞0）；利用基本不等式求解

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（a+4b）的最小值．

解答： 解：函数f（x）=log₂x（x＞1）的反函数为f^-1（x）=2^x，（x＞0）；
则f^-1（a）•f^-1（4b）=2可化为，
2^a•2^4b=2，
故a+4b=1，（a＞0，b＞0）；
（

1

a

+

1

b

）（a+4b）
=1+4+

4b

a

+

a

b

≥9，
（当且仅当

4b

a

=

a

b

，即a=2b=

1

3

时，等号成立）
故选D．

点评：本题考查了反函数的概念及基本不等式的应用，属于中档题．