Question

“数学史与不等式选讲”模块
（1）用数学归纳法证明不等式：|sinnθ|≤n|sinθ|（n∈N^*）
（2）求函数f（x）=sin³xcosx，x∈（0，

π

2

）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先证明n=1时成立，计算n=k时，命题成立，利用放缩法，证明n=k+1时，命题成立；
（2）求导函数，取得函数的单调性，即可求得函数的最大值．

解答：（1）证明：①n=1时，|sinθ|≤|sinθ|成立；
②假设n=k时，命题成立，即|sinkθ|≤k|sinθ|成立
则n=k+1时，|sin（k+1）θ|=|sinkθcosθ+sinθcoskθ|≤|sinkθ+sinθ|≤（k+1）|sinθ|
即n=k+1时，命题成立
综上，|sinnθ|≤n|sinθ|（n∈N^*）
（2）解：求导函数可得f′（x）=sin²x（3cos²x-sin²x）
∵x∈（0，

π

2

），∴令f′（x）=0，可得x=

π

3

∵x∈（0，

π

3

），f′（x）＞0，函数单调递增；x∈（

π

3

，

π

2

），f′（x）＜0，函数单调递减
∴x=

π

3

时，函数取得最大值

3 3

16

．

点评：本题考查数学归纳法，考查导数知识的运用，正确运用导数知识，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．