Question

已知数列{a_n}的首项a₁=3,通项a_n与前n项和S_n之间满足2a_n=S_n·S_n-1(n≥2).

(1)证明{}是等差数列,并求公差;

(2)求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

(1)见解析

(2) a_n=S_n-S_n-1=(n≥2).

    故

解析:

(1)当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1,又2a_n=S_n·S_n-1,

∴2(S_n-S_n-1)=S_n·S_n-1.

    两边同除以S_n·S_n-1得2(-)=1,

    即-=-.

∴{}是等差数列,且首项==,公差为-.

(2)由(1)知=+(n-1)×(-)=,

    即S_n=.

∴a_n=S_n-S_n-1=(n≥2).

    故