Question

已知大西北某荒漠上两点相距2千米，现准备在荒漠上围垦出一片以为一条对角线的平行四边形区域建农艺园．按照规划，围墙总长为8千米．
（1）试求四边形另两个顶点的轨迹方程；
（2）该荒漠上有一条直线型小溪刚好通过点，且与成角．现要对整条小溪进行改造，因考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今后重新设计改造，因此对该部分暂不改造．问暂不改造的部分有多长？

Answer 1

（1）方程为．（2）暂不改造的部分为千米．

（1）设四边形的另两顶点为，则由题意，得，．
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆．
以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
设，椭圆方程为，
则，
．
方程为．
（2）直线的方程为，设与椭圆相交于两点，且，
由得，
，．
．
故暂不改造的部分为千米．