题目内容
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;?
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
解析:(1)∵f(x)+2x＞0的解集为(1,3),?
f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a＜0,因而
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a,①?
由方程f(x)+6a=0得?
ax2-(2+4a)x+9a=0.②?
因为方程②有两个相等的根,?
所以Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0,?
即5a2-4a-1=0.?
解得a=1或a=-
.?
由于a＜0,舍去a=1.将a=-
代入①得
f(x)的解析式?
f(x)=- 
x2-
x-
.?
(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a?
=a(x-
)2-
,?
及a＜0,可得f(x)的最大值为-
.??
由
解得a＜-2-
或-2+
＜a＜0.?
故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,0).
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