题目内容

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是边长为 $数学公式$ 的正方形，侧棱D₁D垂直于底面ABCD，且D₁D=3．
（1）点P在侧棱C₁C上，若CP=1，求证：A₁P⊥平面PBD；
（2）求三棱锥A₁-BDC₁的体积V．

解：（1）依题意，CP=1，C₁P=2，在Rt△BCP中，PB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
同理可知，A₁P= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，A₁B= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以A₁P²+PB²=A₁B²，则A₁P⊥PB，
同理可证，A₁P⊥PD，
由于PB∩PD=P，PB?平面PBD，PD?平面PBD，
所以，A₁P⊥平面PBD．
（2）如图，易知三棱锥A₁-BDC₁的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$
=AB×AD×A₁A-4× $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ AB×AD）×A₁A
= $\text{[math]}$ =2
分析：（1）依题意可得PB= $\text{[math]}$ ，A₁P=2 $\text{[math]}$ ，A₁B= $\text{[math]}$ ，满足A₁P²+PB²=A₁B²，可得A₁P⊥PB，进而可得A₁P⊥PD，由线面垂直的判定定理可得结论；
（2）所求几何体的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，由数据分别求得体积作差可得答案．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，涉及三棱锥体积的求解，属中档题．

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如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁=AB=2，四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求直线A₁C₁与平面BDC₁所成角的正弦值；
（3）求二面角C-BC₁-D的正切值．

如图，在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点E是棱C₁C上一点．
（1）求证：无论E在任何位置，都有A₁E⊥BD
（2）试确定点E的位置，使得A₁-BD-E为直二面角，并说明理由．
（3）当E为CC₁中点时，求四面体A₁-BDE的体积．

如图，在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点E是棱C₁C上一点．
（1）求证：无论E在任何位置，都有A₁E⊥BD
（2）试确定点E的位置，使得A₁-BD-E为直二面角，并说明理由．
（3）试确定点E的位置，使得四面体A₁-BDE体积最大．并求出体积的最大值．

如图，在四棱柱ABC－A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AA₁＝4，AB＝2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点．

(1)若点E是棱CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；

(2)试确定点E的位置，使得A₁－BD－E为直二面角，并说明理由．

如图，在四棱柱ABC－A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AA₁＝4，AB＝2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点．

(1)若点E是棱CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；

(2)试确定点E的位置，使得A₁－BD－E为直二面角，并说明理由．