Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求的值域；

（2）当时，求的最小值；

（3）当时，若，都，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）计算开口向上的二次函数值域，先计算函数最小值，然后写出值域即可；（2）根据对称轴与区间的位置关系确定最小值，注意分类讨论；（3）通过条件得到两个函数在给定区间上的值域关系，然后分类讨论计算出的取值范围.

（1）由已知得,

又,时，,

的值域为

（2）由已知得.

①当，即时，在上是增函数,

, 即,

②当，即时，可得

,

即 ,

③当，即时，在上是减函数,

即 ,

综上所述 .

（3）设函数在上的值域为，函数在上的值域为，

由已知得，又 ，，，

①当时，，不合题意，舍去；

②当时， 函数的值域为，，

，解得，

③当时， 函数的值域为，，

,解得 ,

综上所述：实数的取值范围为 或.