Question

已知函数f（x）=x²-mlnx+（m-1）x，m∈R，
（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）当m≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）求证：当m=-2时，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有。

Answer 1

解：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当m=2时，，
∴当，
∴f（x）在x=1时取得最小值，其最小值为。
（Ⅱ）∵，
∴（1）当为增函数；
为减函数；
为增函数。
（2）当为增函数；
为减函数；为增函数。
（Ⅲ）不妨设，
要证明，
当m=-2时，函数，
考查函数，
，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，
对任意，
所以，
∴，命题得证。