题目内容

已知数列{xn}满足xn+1=，x1=1(n∈N*)．

(1)是否存在m∈N*，使xm=2?证明你的结论；

(2)试比较xn与2的大小关系；

(3)设an=|xn-2|，数列{an}的前n项和为Sn，

求证：Sn≤2-21-n．

解：(1)假设存在m∈N*，使得xm=2，

则2=

同理可得xm-2=2，依次类推有x1=2，与x1=1矛盾．

所以假设不成立，故不存在m∈N*使得xm=2．

(2)∵当n≥2时，xn+1-2=，

又xn+1=1+，x1=1,则xn＞1

故xn+1＞2，xn+1-2与xn-2符号相反，

而x1=1＜2，则x2＞2

以此类推有：x2n-1＜2，x2n＞2(n∈N*)

(3)由上可知xn+1≥2

所以|xn+1-2|=|xn-2|，

所以an≤an-1≤…≤()n-2a2≤()n-1a1=()n-1

Sn≤1++()2+…+()n-1=.

练习册系列答案
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10、已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1（n≥2），x1=a，x2=b，Sn=x1+x2+…+xn，则下面正确的是（　　）
已知数列{xn}满足x2=
1
2
x1，xn=
1
2
（xn-1+xn-2）（n=3，4，5，…），若
lim
n→∞
xn=2，则x1=
 
．
数列{an}中，如果存在非零常数T，使得an+T=an对于任意的非零自然数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2），如果x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），当数列{xn}的周期为3时，求该数列前2009项和是
1339+a
1339+a
．
已知数列{xn}满足：x1=1且xn+1=
xn+4
xn+1
，n∈N*．
（1）计算x2，x3，x4的值；
（2）试比较xn与2的大小关系；
（3）设an=|xn-2|，Sn为数列{an}前n项和，求证：当n≥2时，Sn≤2-
2
2n
．
已知数列{xn}满足：x1∈(0，1)，xn+1=
xn(
x
2
n
+3)
3
x
2
n
+1
(n∈N*）．
（1）证明：对任意的n∈N*，恒有xn∈（0，1）；
（2）对于n∈N*，判断xn与xn+1的大小关系，并证明你的结论．

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