Question

设C₁是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0），C₂是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．
（1）求双曲线C₂的标准方程；
（2）若C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，求p的取值范围，并求的最大值；
（3）是否存在正数p，使得此时△FAB的重心G恰好在双曲线C₂的渐近线上？如果存在，求出p的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设双曲线C₂的方程，利用C₂是以直线与为渐近线，焦点是，即可求得双曲线方程；
（2）抛物线方程与双曲线方程联立，可得一元二次方程，利用C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，可得p的取值范围；设A、B的坐标，用坐标表示，利用韦达定理及配方法，可得的最大值；
（3）由（2）知△FAB的重心G（，），即G（，），假设G恰好在双曲线C₂的渐近线上，利用渐近线方程，即可求得结论．
解答：解：（1）因为一个焦点是，故焦点在y轴上，于是可设双曲线C₂的方程为（a＞0，b＞0）
∵C₂是以直线与为渐近线，
∴
∵a²+b²=7
∴a=2，b=
∴双曲线方程为；
（2）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（，0），与双曲线方程联立消y得：4x²-6px+12=0
∵C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，∴△＞0，∴p＞
设A（m，n）、B（e，f），则=（m-，n）•（e-，f）=me-（m+e）×++nf=me-（m+e）×++2p
由方程知me=3，m+e=代入得=-+2p+3=-（p-2）²+9，函数的对称轴为p=2
∵p＞，∴p=2时，的最大值为9；
（3）由（2）知△FAB的重心G（，）
∵n+f==
∴G（，）
假设G恰好在双曲线C₂的渐近线上，则，∴
∴p=0或p=
∵p＞，∴p=
∴存在正数p=，使得此时△FAB的重心G恰好在双曲线C₂的渐近线上．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查向量知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．