题目内容

（2013•海淀区一模）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分．
（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望．
分析：（I）由数学与逻辑中成绩等级为B的考生有10人，频率为
1
4
，可求考场中的人数，然后结合其频率可求
（II） 结合频率分布直方图可求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20，然后求出ξ去每个值对应的概率，即可求解出ξ的分布列及ξ的数学期望
解答：解：（I）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有10÷
1
4
=40人…（1分）
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=3…（3分）
（II） 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
40(1×0.2+2×0.1+3×0.375+4××0.25+5×0.075)
40
=2.9（7分）
（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20…（8分）
P（ξ=16）=
C
2
6
C
2
10
=
1
3
，
P（ξ=17）=
C
1
2
C
1
6
C
2
10
=
4
15

P（ξ=18）=
C
1
6
C
1
2
+
C
2
2
C
2
10
=
13
45

P（ξ=19）=
C
1
2
C
1
2
C
2
10
=
4
45

P（ξ=20）=
C
2
2
C
2
10
=
1
45

所以ξ的分布列为
X 16 17 18 19 20
P
1
3
4
15
13
45
4
45
1
45
…（11分）
所以Eξ=16×
1
3
+17×
4
15
+18×
13
45
+19×
4
45
+20×
1
45
=
86
5

所以ξ的数学期望为
86
5
…（13分）
点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望值的求解，解题的关键是熟练掌握基本公式的应用．
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2
．
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PN
NB
=
1
3
．
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13
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2
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7
3
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x2
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+
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b2
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2
2
．
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