Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2）．
（1）令c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的通项公式；
（2）令d_n=a_n-b_n，求数列{d_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和公式S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得可得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2），此数列{c_n}是等差数列，利用通项公式即可得出；
（2）由已知可得an-bn=

1

2

(an-1-bn-1)(n≥2)，令d_n=a_n-b_n，则dn=

1

2

dn-1(n≥2)，此数列{c_n}是等比数列，利用通项公式即可得出；
（3）利用（1）（2）可得

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

，利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）由

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2）两式相加可得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2）
∴数列{c_n}是首项为a₁+b₁=3，公差为2的等差数列，
∴通项公式为c_n=2n+1．
（2）由

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2）两式相减可得an-bn=

1

2

(an-1-bn-1)(n≥2)，令d_n=a_n-b_n，则dn=

1

2

dn-1(n≥2)．
可知数列{d_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为

1

2

的等比数列，
∴通项公式为dn=

1

2n-1

．
（3）利用（1）（2）可得

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

，
∴S_n=(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)+（1+2+…+n）+

1

2

n
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+

n(1+n)

2

+

1

2

n
=1-

1

2n

+

1

2

n2+n
=-

1

2n

+

1

2

n2+n+1．

点评：本题考查了可转化为等差数列和等比数列的数列、等差数列和等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．