Question

如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.

（Ⅰ）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

（Ⅱ）求点D₁到平面B₁EF的距离d；

（Ⅲ）求三棱锥B₁—EFD₁的体积V.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证法一：连接AC.∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形. ∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1 ∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1 ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. 证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. （Ⅱ）解：在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H ∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G， ∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H. 解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sinD1B1H， ∵D1B1=A1B1=4. sinD1B1H=sinB1GB=， ∴d=D1H=4· 解法二：∵△D1HB∽△B1BG，∴ ∴d=D1H=. 解法三：如图，连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半.即B1G·D1H=BB12. ∴d=. （Ⅲ）·d·