Question

(本题满分14分)已知函数。
（Ⅰ）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当时，求证：对大于的任意正整数，都有 。

Answer 1

解：（I）     ……………1分
∵ 函数在上为增函数
∴ 对恒成立，              ……………………2分
∴ 对恒成立，即对恒成立
∴                                               ……………………4分
（II）当时，，
∴ 当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，         ………………6分
∴在区间上有唯一极小值点，故 ……7分
又  
∵     ∴ 
∴ 在区间上的最大值
综上可知，函数在上的最大值是，最小值是。………………9分
（Ⅲ）当时，，故在上为增函数。
当时，令，则，故 ……………………11分
∴ 即………12分
∴ 
∴   …………………13分
∴ 
即对大于的任意正整数，都有    ……………………14分

略