Question

等差数列{a_n}中，a₁＞0，且3a₈=5a₁₃，则{S_n}中最大项为

S₂₀

．

Answer 1

分析：设等差数列的公差为d，根据等差数列的性质得出a₈与a₁₃的关系，再由已知的3a₈=5a₁₃，联立用d表示出a₈，利用等差数列的通项公式化简后，用d表示出a₁，利用等差数列的求和公式表示出S_n，将表示出的a₁代入，整理后，得到等差数列的S_n为关于n的二次函数，根据a₁大于0，得到d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出S_n的最大值，即为{S_n}中的最大项．

解答：解：根据等差数列的性质得：a₁₃=a₈+5d①（d为公差），
又3a₈=5a₁₃，即a₁₃=

3

5

a₈②，
把②代入①得：a₈=-12.5d，
又a₈=a₁+7d，
∴a₁+7d=-12.5d，
∴a₁=-19.5d，
由等差数列的求和公式得：S_n=na₁+

n(n-1)

2

d，
将a₁=-19.5d代入整理得：S_n=0.5dn²-20dn，
∵a₁＞0，∴d＜0，
∴等差数列的S_n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，
∴当n=-

-20d

2×0.5d

=20时，S_n最大，最大值为S₂₀，
则{S_n}中最大项为S₂₀．
故答案为：S₂₀

点评：本题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，是一个最大值的问题，结合二次函数的性质来解题，通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．