Question

2．设f（x）=ax-|lnx|+1有三个不同的零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，e）
• B． （0，e²）
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）

Answer 1

分析 由f（x）=ax-|lnx|+1有三个不同的零点，可得ax+1=|lnx|有三个不同的零点，画出图形，数形结合得答案．

解答 解：如图，由f（x）=ax-|lnx|+1有三个不同的零点，可得ax+1=|lnx|有三个不同的零点，
画出函数y=|lnx|的图象，
直线y=ax+1过定点（0，1），
当x＞1时，设过（0，1）的直线与y=lnx的切点为（x₀，lnx₀），
由y=lnx，得y′=$\frac{1}{x}$，
∴y′${|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
切线方程为$y-ln{x}_{0}=\frac{1}{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
把（0，1）代入得：1-lnx₀=-1，即x₀=e²．
∴y′${|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即直线y=ax+1的斜率为a=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
则使f（x）=ax-|lnx|+1有三个不同的零点的a的取值范围是（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）．
故选：D．

点评 本题考查函数零点判定定理，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．