Question

已知位于y轴右侧的圆C与y相切于点P（0，1），与x轴相交于点A、B，且被x轴分成的两段弧之比为1﹕2（如图所示）．
（I）求圆C的方程；
（II）若经过点（1，0）的直线l与圆C相交于点E、F，且以线段EF为直径的圆恰好过圆心C，求直线l的方程．

Answer 1

解：（I）因为圆C位于y轴右侧，且与y相切于点P（0，1），
所以圆心C在直线y=1上．又圆C被x轴分成的两段弧之比为1﹕2，
所以．
所以PC=AC=BC=2，圆心C的坐标为（2，1）．
所以所求圆C的方程为（x﹣2）²+（y﹣1）²=4．
（II）①若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），
即kx﹣y﹣k=0．
因为线段EF为直径的圆恰好过圆心C，所以EC⊥FC．
因此．
∵圆心C（2，1）到直线l的距离．
∴由得k=﹣1．
故所求直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．
②若直线l斜率不存在，此时直线l的方程为x=1，点E、F的坐标分别为、，不满足条件．
故所求直线的方程为x+y﹣1=0．