Question

在平面直角坐标系中，动点P的坐标（x，y）满足方程组：

x=(2k+2-k)cosθ y=(2k-2-k)sinθ

（1）若k为参数，θ（2）为常数（θ≠

kπ

2

，k∈Z（3）），求P点轨迹的焦点坐标．
（4）若θ（5）为参数，k为非零常数，则P点轨迹上任意两点间的距离是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把

x cosθ = (2k+2-k) y sinθ = (2k-2-k)

  这两个式子平方相减可消去参数k，化为  

x2

cosθ

-

y2

sinθ

= 4，方程表示
焦点在x轴上的双曲线，求出焦点．
 （2）把这两个式子

cosθ  = x 2k+2-k sinθ =  y 2k+2-k

  平方相加即可消去参数θ，化为

x2

2k+2-k

-

y2

2k-2-k

=  1，
 方程表示焦点在x轴上的椭圆，任意两点间的距离存在最大值为椭圆的长轴的长2a．

解答：解：（1）由

x=(2k+2-k)cosθ y=(2k-2-k)sinθ

得：

x cosθ = (2k+2-k) y sinθ = (2k-2-k)

，把这两个式子平方相减可得

x2

cosθ

- 

y2

sinθ

= 4．∵θ≠

kπ

2

，k∈z，故方程表示焦点在x轴上的双曲线，焦点为（-2，0），（2，0）．

（2）由

x=(2k+2-k)cosθ y=(2k-2-k)sinθ

 可得

cosθ  = x 2k+2-k sinθ =  y 2k+2-k

，消去参数θ 可得

x2

2k+2-k

-

y2

2k-2-k

=  1，故方程表示焦点在x轴上的椭圆，
任意两点间的距离存在最大值为椭圆的长轴的长2a=2（2^k+2^-k  ）．

点评：本题考查把参数方程化为普通方程的方法，椭圆与双曲线的方程的特点，消去参数是解题的关键．