Question

关于函数f（x）=4sin（2x-）（x∈R），有下列命题：
（1）y=f（x+）为偶函数；
（2）要得到函数g（x）=-4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位；
（3）y=f（x）的图象关于直线x=-对称；
（4）y=f（x）在[0，2π]内的增区间为[0，]和[，2π]；
（5）y=f（x）的周期为π．其中正确命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：求出f（x+）解析式，结合三角函数的奇偶性可得y=f（x+）为非奇非偶函数，故（1）不正确；因为g（x）=f（x-），结合函数图象平移的规律可得（2）正确；当x=-时，f（-）=-4恰好是函数的最小值，所以y=f（x）的图象关于直线x=-对称，故（3）正确；利用正弦函数单调区间的求法，可得y=f（x）在[0，2π]内的增区间为[0，]和[，2π]，故（4）正确；利用三角函数的周期公式可得（5）正确．
解答：解：对于（1），∵f（x+）=4sin[2（x+）-]=4sin（2x+）
∴y=f（x+）为非奇非偶函数，故（1）不正确；
对于（2），∵f（x）=4sin（2x-），满足g（x）=f（x-）=4sin[2（x-）-]=-4sin2x
∴将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=-4sin2x的图象，故（2）正确；
对于（3），当x=-时，f（-）=4sin[2（-）-]=4sin（-）=-4，恰好是函数的最小值，
∴y=f（x）的图象关于直线x=-对称，故（3）正确；
对于（4），令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈z．
取k=0和1，与区间[0，2π]取交集，得y=f（x）在[0，2π]内的增区间为[0，]和[，2π]，故（4）正确；
对于（5），y=f（x）的周期为=π，故（5）正确．
故答案为：（2）（3）（4）（5）
点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了函数y=Asin（ωx+∅）的图象与性质，三角函数的周期性、单调性的奇偶性，属于中档题．