题目内容
已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点
重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若过点
的直线
与椭圆交于不同两点
，试问在
轴上是否存在定点
，使
恒为定值?若存在，求出
的坐标及定值；若不存在，请说明理由。
(Ⅰ) 椭圆的方程为
(Ⅱ) 当
时，为定值
解析:
(Ⅰ)由题意知抛物线的焦点
……………………………………………………………………………1分
又
椭圆的短轴的两个端点与构成正三角形
椭圆的方程为……………………………………………………3分
(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设其斜率为
，则的方程为：
………………………………………5分
则
……………………………………7分
……………………………………9分
当
即
时为定值…………………………10分
当直线的斜率不存在时，
由可得
综上所述当时，为定值………
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的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则该椭圆的离心率为（ ）
B．
C．
D．
的一个焦点
与抛物线
的焦点重合，P为椭圆与抛物线的一个公共点，且|PF|=2，倾斜角为
的直线
过点
，问抛物线
上是否存在一点
，使得
的一个焦点
与抛物线
的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为
，倾斜角为
的直线
过点
，试求抛物线
上一点
，使得
的一个焦点与抛物线
的焦点
重合，且椭圆短轴的两个端点与
的直线
与椭圆交于不同两点
，试问在
轴上是否存在定点
，使
恒为定值? 若存在，求出
的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
B.
C.
D.2