Question

．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.

   （Ⅰ）求该椭圆的方程；

   （Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为，试求抛物线上一点，使得与关于直线对称，求出点的坐标.

 

Answer 1

【答案】

（1）   ；

（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称.

【解析】(I)根据抛物线的方程可以求出椭圆的焦点坐标，进而求出c值.

再利用抛物线准线被椭圆截得的弦长为，可得交点坐标为,

然后代入椭圆方程再结合,解方程组即可.

(2)易求出直线l的方程，然后求出焦点F（-1，0）关于直线l的对称点，根据对称点在抛物线上.确定抛物线的方程.

解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，……………2分

  ∴       ①        …………………3分

又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，  ∴  得上交点为，

∴     ②…………………4分

由①代入②得，解得或（舍去），

从而     …………………6分

∴   该椭圆的方程为该椭圆的方程为      …………………7分

（2）∵ 倾斜角为的直线过点，

∴ 直线的方程为，即，…………………8分

由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，…9分

则得   ……10分  解得，即   

又满足，故点在抛物线上.   …………………12分

所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称.……13分