Question

如图,在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中,底面是边长为1的菱形,侧棱长为2.

(1)B₁D₁与A₁D能否垂直?请证明你的判断.

(2)当∠A₁B₁C₁在［,］上变化时,求异面直线AC₁与A₁B₁所成角的取值范围.

Answer 1

解析：（1）不可能垂直.

如果B₁D₁⊥A₁D则B₁D₁⊥A₁D₁（三垂线定理逆定理）.

而这不可能.∴B₁D₁不垂直于A₁D.

（2）解法一：设=a,=b,=c，则

=-=-（+）=a-(b+c).

·=（a-b-c）·(-b)=b²+b·c-a·b

=1-1×1cosθ=1-cosθ.

||=.

||=1

∴cos＜，＞=,0≤cosθ≤,

∴≤cos＜,＞≤.

故AC₁，与A₁B₁所成角范围［arccos,arccos］.

解法二：∵A₁B₁∥C₁D₁,

∴C₁D₁与AC₁所成的角∠AC₁D就是异面直线AC₁与A₁B₁所成的角.

∵≤∠A₁B₁C₁≤,

∴0≤cosA₁B₁C₁≤.

在△A₁B₁C₁中

A₁C₁²=B₁C₁²+A₁B₁²-2B₁C₁·A₁B₁

cosA₁B₁C₁

=1+1-2cosA₁B₁C₁

=2-2cosA₁B₁C₁.

在Rt△AA₁C₁中，

AC₁²=AA₁²+A₁C₁²=2²+A₁C₁²=4+A₁C₁².

连结AD₁在,Rt△AA₁D中，AD₁²=AA₁²+A₁D₁²=2²+1²=5.

在△AC₁D₁中,

cosAC₁D₁=

=.

∵0≤cosA₁B₁C₁≤，

∴≤cosAC₁D≤.

故AC₁与A₁B₁所成的角范围为?［arccos,arccos］.