Question

求解下列问题
（1）求函数y=

sinx- 1 2

+lg(cosx+

1

2

)的定义域；
（2）求f（x）=sin（

π

3

-2x）的单调增区间；
（3）函数f（x）=

k-2x

1+k•2x

为奇函数，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由偶次根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，联立后求解三角不等式即可得到函数的定义域；
（2）给出的函数是正弦型的复合函数，且内层函数为减函数，只要让

π

3

-2x在正弦函数的减区间内求解x的取值范围即可，最后用区间表示；
（3）根据函数是奇函数的定义，由f（-x）+f（x）=0恒成立，列式后得（k²-1）（2^2x+1）=0恒成立，也就是k²-1=0恒成立，则k的值可求．

解答：解：（1）要使原函数有意义，
则

sinx- 1 2 ≥0① cosx+ 1 2 ＞0②

，
解①得：

π

6

+2kπ≤x≤

5π

6

+2kπ（k∈Z），
解②得：-

2π

3

+2kπ＜x＜

2π

3

+2kπ（k∈Z）．
所以，

π

6

+2kπ≤x＜

2π

3

+2kπ（k∈Z）．
所以，原函数的定义域为[

π

6

+2kπ，

2π

3

+2kπ)（k∈Z）．
（2）令

π

3

-2x=t，
则内层函数t=-2x+

π

3

为减函数，
由

π

2

+2kπ≤t≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，
即

π

2

+2kπ≤-2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，
解得：-

7π

12

-kπ≤x≤-

π

12

-kπ(k∈Z)．
即

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈Z）．
所以，函数f（x）=sin（

π

3

-2x）的单调增区间为：
[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）．
（3）由函数f（x）=

k-2x

1+k•2x

为奇函数，
则f（-x）+f（x）=0恒成立，
即

k-2-x

1+k•2-x

+

k-2x

1+k•2x

=0恒成立，
整理得：

k2•22x-1+k2-22x

(k+2x)(1+k•2x)

=0，
所以，（k²-1）（2^2x+1）=0恒成立．
即k²-1=0恒成立．
所以，k=1 或k=-1．
所以，使函数f（x）=

k-2x

1+k•2x

为奇函数的k的值为1或-1．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的单调性，考查了函数的奇偶性，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，运用函数奇偶性求解参数时，注意等式恒成立的条件，此题是中档题．