Question

11．已知椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（2，0），则椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$或$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 分椭圆焦点在x轴、y轴两种情况讨论即可．

解答 解：∵椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2b，
当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{4b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
代入点（2，0），可得b²=1，
即椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
当椭圆焦点在y轴上时，设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
代入点（2，0），可得b²=4，
即椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$；
综上可得，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$或$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查求椭圆的方程，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．