Question

（1）求（1+2x）⁷展开式中系数最大项；
（2）求（1-2x）⁷展开式中系数最大项．

Answer 1

（1）设第r+1项系数最大，则有

C r7 •2r≥ C r+17 •2r+1 C r7 •2r≥ C r-17 •2r-1

，
即

7! r!(7-r)! ≥2• 7! (r+1)!(6-r)! 2• 7! r!(7-r)! ≥ 7! (r-1)!(8-r)!

，
即

r+1≥2(7-r) 2(8-r)≥r

，
∴

13

3

≤r≤

16

3

且0≤r≤7，r∈Z，
∴r=5．
∴系数最大项为T₆=C₇⁵•2⁵•x⁵=672x⁵；
（2）展开式共有8项，系数最大项必为正项，
即在第一、三、五、七这四项中取得，
故系数最大项必在中间或偏右，
∴只需比较T₅和T₇两项系数大小即可．
∵T₅=C₇⁴（-2）⁴x⁴=560x⁴，T₇=C₇⁶（-2）⁶x⁶=448x⁶，
∴系数最大的项是第五项为T₅=C₇⁴（-2）⁴x⁴=560x⁴．