Question

（2006•重庆一模）椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆M上任一点，且

PF1

•

PF2

的最大值的取值范围是[c²，3c²]，其中c=

a2-b2

．则椭圆M的离心率e的取值范围是（　　）

• A．[

  1

  4

  ， 

  1

  2

  ]
• B．[

  1

  2

  ， 

  2

  2

  ]
• C．[

  2

  2

  ， 1)
• D．[

  1

  2

  ， 1)

Answer 1

分析：先根据题意得到两焦点的坐标，设出点P的坐标进而可表示出

PF1

、

PF2

，再得到二者的数量积后将 x2=

a2 (b2-y2)

b2

代入消去x得到关于y的关系式，进而可得到当y=0时

PF1

•

PF2

的值取到最大，进而可求出离心率的取值范围．

解答：解：由题意可知F₁（-c，0），F₂（c，0），设点P为（x，y）
∵

x2

a2

+

y2

b2

=1∴x2=

a2 (b2-y2)

b2

∴

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y)
∴

PF1

•PF2

=x²-c²+y²=

a2 (b2-y2)

b2

-c²+y²
=a2-c2-

c2y2

b2

当y=0时

PF1

•PF2

取到最大值a²-c²，即c²≤a²-c²≤3c²，
∴

2

c≤a≤2c，
∴

1

2

≤e≤

2

2

．故椭圆m的离心率e的取值范围 [

1

2

，

2

2

]．
故选B．

点评：本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．