Question

如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=3,AA₁=4，M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC₁的交点为N.求：

 

（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（2）PC和NC的长；

（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.

Answer 1

解：（1）正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为

（2）如图，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连结MP₁，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线.设PC=x，则P₁C=x.

在Rt△MAP₁中，由勾股定理得(3+x)²+2²=29.

解得x=2,PC=P₁C=2.

（3）如图，连接PP₁，则PP₁就是平面NMP与平面ABC的交线.

作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，连结CH,

由三垂线定理得：CH⊥PP₁,

∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）.

在Rt△PHC中，∵∠PCH=∠PCP₁=60°,

∴CH=PC=1.在Rt△NCH中，

tan∠NHC=

故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctan.