Question

【题目】在直角坐标系xOy中，是以PF为底边的等腰三角形，PA平行于x轴，点，且点P在直线上运动.记点A的轨迹为C.

（1）求C的方程.

（2）直线AF与C的另一个交点为B，等腰底边的中线与直线的交点为Q，试问的面积是否存在最小值？若存在，求出该值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，值为.

【解析】

（1）根据抛物线的定义得轨迹为抛物线（去除顶点），从而可得其方程；

（2）设直线AB的方程为，，，直线方程代入抛物线方程整理可得，由抛物线的焦点弦弦公式求得弦长，再求出点到直线的距离，求得三角形面积（表示为的函数），由函数性质可得最小值．

（1）由题意得PA与直线垂直，且，

故点A到定点的距离和到直线的距离相等，

由抛物线的定义可得，C是以为焦点，

直线为准线的抛物线(除原点O)，

故C的方程为.

（2）存在．

设直线AB的方程为，，，

由，得，

则，，.

因为，，所以，

则. 又P的坐标为，

所以PF的中点为，

故底边的中线所在的直线方程为.

令，得，

故Q的坐标为. 点Q到直线AB的距离，

所以，

故当时，取得最小值4.