Question

7．曲线C以双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右焦点F为焦点，曲线C上的点到焦点F的距离与到直线x=-2的距离相等，则曲线C上的任意一点P到y轴的距离与到直线x-y+4=0的距离和的最小值为（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$-1
• C． 3$\sqrt{2}$+2
• D． 3$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 求出曲线C的轨迹方程为y²=8x，连接PF，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=-2于点C．由抛物线的定义，得到d₁+d₂=（PA+PF）-2，再由平面几何知识可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到d₁+d₂的最小值．

解答 解：由题意，曲线C上的点到焦点F（2，0）的距离与到直线x=-2的距离相等，
∴曲线C的轨迹方程为y²=8x，其准线方程为：x=-2，
如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=-2于点C，
连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF，
∵P到y轴的距离为d₁，P到直线l的距离为d₂，
∴d₁+d₂=PA+PB=（PA+PC）-2=（PA+PF）-2，
根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，
∵F（2，0）到直线l：x-y+4=0的距离为$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴PA+PF的最小值是3$\sqrt{2}$，
由此可得d₁+d₂的最小值为3$\sqrt{2}$-2．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的方程，考查抛物线定义的运用，考查双曲线的性质，考查学生转化问题的能力，属于中档题．