Question

【题目】已知函数，.

（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；

（2）若，讨论的单调性；

（3）在（2）的条件下，若，求证：函数只有一个零点，且．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析（3）见解析

【解析】分析：（1）先求一阶导函数，，用点斜式写出切线方程

（2）先求一阶导函数的根，求解或的解集，判断单调性。

（3）根据（2）的结论，求出极值画出函数的示意图，分析函数只有一个零点的等价条件是极小值大于零，函数在是减函数，故必然有一个零点。

详解：（1）因为，所以；又。

由题意得，解得

（2），其定义域为，

又，令或。

①当即时，函数与随的变化情况如下：

当时，，当时，。

所以函数在单调递增，在和单调递减

②当即时，，

所以，函数在上单调递减

③当即时，函数与随的变化情况如下：

当时，，当时，。

所以函数在单调递增在和 上单调递减

（3）证明：当时，

由①知，的极小值为，极大值为.

因为

且又由函数在是减函数，可得至多有一个零点

又因为，

所以 函数只有一个零点， 且.