题目内容

（2005•上海模拟）（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；
（2）若三角形有一个内角为arccos
7
9
，周长为定值p，求面积S的最大值；
（3）为了研究边长a、b、c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S=
1
2
absinC≤
1
2
×9×8sinC=36sinC，要使S的值最大，则应使sinC最大，即使∠C最大，也就是使∠C所对的边c边长最大，所以，当a?9，b?8，c?4时该三角形面积最大，此时cosC=
43
48
，sinC=
455
48
，所以，该三角形面积的最大值是
3
455
4
．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的解答．
分析：（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，由勾股定理和二次函数的性质求出y的最小值，即得周长p的
最小值．
（2）根据周长p=x+y+
x2+y2-2xy•
7
9
，利用基本不等式求得 xy≤
9
64
p2，再由S=
1
2
xysin(arccos
7
9
)=
2
2
9
xy，求得面积S的最大值．
（3）不正确，由海伦公式化简可得16S2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，
则S≤16，故当三角形的边长a、b、c 分别为 4
5
，8，4 的直角三角形时，其面积取得最大值16．
另解：S=
1
2
bcsinA≤
1
2
•8•4•sin90°=16．
解答：解：（1）设直角三角形两直角边长分别为x、12-x，斜边长为y，则 y=
x2+(12-x)2
=
2(x-6)2+72
≥6
2
，
∴两直角边长都为6时，周长p的最小值为 12+6
2
．
 （2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为 arccos
7
9
，则周长p=x+y+
x2+y2-2xy•
7
9
，
∴p≥2
xy
+
2xy-
14
9
xy
=
8
3
xy
，即 xy≤
9
64
p2．
又S=
1
2
xysin(arccos
7
9
)=
2
2
9
xy≤
2
32
p2，∴面积S的最大值为
2
32
p2．
（3）不正确．16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）2-a2][a2-（b-c）2]
=-a4+2（b2+c2）a2-（b2-c2）2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，
而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16．
其中等号成立的条件是 a2=b2+c2，b=8，c=4，则 a=4
5
．
∴当三角形的边长a、b、c 分别为 4
5
，8，4的直角三角形时，其面积取得最大值16．
（ 另解：S=
1
2
bcsinA≤
1
2
•8•4•sin90°=16）．
点评：本题考查基本不等式，反余弦函数的定义，海伦公式的应用，三角形中的几何计算，属于难题．
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