Question

某人要建造一面靠旧墙的矩形篱笆，地面面积为24m²、高为1m，旧墙需维修，其它三面建新墙，由于地理位置的限制，篱笆正面的长度x米，不得超过a米（a＞1），正面有一扇1米宽的门，其平面示意图如图．已知旧墙的维修费用为150元/m²，新墙的造价为450元/m²．
（Ⅰ）把篱笆总造价y元表示成x米的函数，并写出该函数的定义域；
（Ⅱ）当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

Answer 1

分析：（I）篱笆由三部分构成，先表示出篱笆的宽，然后把篱笆总造价y元表示成x米的函数，根据篱笆正面的长度x米，不得超过a米，正面有一扇1米宽的门，可求出定义域；
（II）讨论a与6的大小，当a≥6时利用基本不等式进行求最值，当1＜a＜6时利用导数法求出最值，注意解题格式即可．

解答：解：（I）依题意得：y=(x-1)×1×450+x×1×150+

24

x

×2×1×450（1＜x＜a）∴y=600(x+

36

x

)-450，(1＜x＜a)
（II）①当a≥6时，y=600(x+

36

x

)-450≥600

36 x ×x

-450=3150
当且仅当 x=

36

x

即 x=6时取等号，此时总造价最低为3150元
②当1＜a＜6时，y′=600(1-

36

x2

)=600

(x2-36)

x2

=0，x₁=6，x₂=-6∵1＜x＜a，且1＜a≤6
∴函数在（1，a）上为减函数
当x=a时，ymin=600(

36

a

+a)-450
答：当a≥6时，总造价最低为3150元；x=a时，总造价最低600(

36

a

+a)-450元

点评：观察函数特点：为一个含有两个部分，这两部分的积为一个常数，求和的最值，所以利用基本不等式求最值，以及利用导数法求最值，解题的关键是讨论a的范围．