Question

如果函数f(x)=-

2a

b

ln(x+1)的图象在x=1处的切线l过点（0，-

1

b

），并且l与圆C：x²+y²=1相离，则点（a，b）与圆C的位置关系是（　　）

A．在圆内

B．在圆外

C．在圆上

D．不能确定

Answer 1

分析：利用求导法则求出函数f（x）的导函数，根据题意将x=1代入导函数中，求出切线l的斜率，由斜率及切线l过（0，-

1

b

），表示出切线l的方程，根据切线l与圆相离，可得出圆心到切线l的距离d大于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，变形后得到a²+b²小于1，即（a，b）到圆心（0，0）的距离小于半径r，可判断出此点在圆内．

解答：解：求导得：f′（x）=-

2a

b

•

1

x+1

，
由题意得：f（x）函数图象在x=1处的切线l过点（0，-

1

b

），
∴切线l的斜率为f′（1）=-

a

b

，
∴切线l方程为y+

1

b

=-

a

b

x，即ax+by+1=0，
∵直线l与圆C：x²+y²=1相离，且圆心坐标为（0，0），半径r=1，
∴圆心到直线l的距离d=

1

a2+b2

＞1=r，即a²+b²＜1，
∴点（a，b）与圆C的位置关系是：点在圆内．
故选A

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：利用导数研究曲线上某点的切线方程，点到直线的距离公式，点与圆的位置关系，以及两点间的距离公式，其中直线与圆的位置关系可以由d与r的大小来判断（d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径），当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．