Question

已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长均为a，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=a.

(1)求异面直线AC与BC₁所成角的余弦值；

(2)求证：A₁B⊥面AB₁C.

Answer 1

解析:过B作BO⊥AC于点O，连结A₁O，

∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，

∴BO⊥平面A₁ACC₁.

在Rt△A₁BO中，A₁B=a,BO=a,

∴A₁O=a.

又∵AA₁=a,AO=,∴A₁O²=AA₁²+AO ².

∴△A₁AO为直角三角形.

∴A₁O⊥AC.

故A₁O⊥底面ABC.

(1)解:∵A₁C₁∥AC,

∴∠BC₁A₁为异面直线AC与BC₁所成的角.

∵A₁O⊥面ABC，

∴AC⊥A₁O.

又∵BO⊥AC,

∴AC⊥平面A₁BO.

∴AC⊥A₁B.

又∵A₁C₁∥AC,

∴A₁C₁⊥平面A₁BO.

∴A₁C₁⊥A₁B.

在Rt△A₁BC₁中，A₁B=a,A₁C₁=a,

∴BC₁=a.

∴cos∠BC₁A₁=.

故异面直线AC与BC₁所成角的余弦值为.

(2)证明:∵四边形ABB₁A₁为菱形，∴A₁B⊥AB₁.

又∵A₁B⊥AC,AC∩AB₁=A,∴A₁B⊥面AB₁C.