Question

已知双曲线C₁的渐近线为y=±x且过点(,)，直线l的方程为x-y+3=0，以双曲线C₁的焦点为焦点作椭圆C₂，C₂与l有公共点，问公共点在何处时，C₂的短轴长最短?并求出此时的椭圆方程.

Answer 1

解：设双曲线C₁的方程为x²-=λ，将点(,)代入得λ=,

C₁:4x²-y²=1，其焦点坐标为(±1,0).

    设椭圆C₂的方程为+=1，其中b＞0，将l的方程代入并整理得(2b²+1)x²+6(b²+1)x+(9-b²)(b²+1)=0.

∵l与C₂有公共点，∴Δ≥0，解得b²≥4,b≥2,2b≥4，即短轴长最短为4.

    当b=2时，上述方程为9x²+30x+25=0,这时x=-,y=x+3=,

    即当l与C₂的公共点为(-,)时，C₂的短轴长最短为4，椭圆的方程+=1.