Question

设函数f（x）=在[1，+∞）上为增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）若a=1，求证：（n∈N*且n≥2）．

Answer 1

解：（1）由已知：f'（x）=．
依题意得：≥0对x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，∴a-1≥0，即：a≥1．
故正实数a的取值范围为[1，+∞）．
（2）∵a=1，∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（）=，
即：…． （9分）
∴．
设g（x）=lnx-x，x∈[1，+∞），则对x∈[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1+∞）为减函数．
∴n≥2时：g（）=ln-＜g（1）=-1＜0，
即：ln＜=1+ （n≥2）．
∴lnn=，
综上所证：（n∈N*且≥2）成立．
分析：（1）由已知可得f'（x）=≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，可得a-1≥0，从而
求得正实数a的取值范围．
（2）根据n≥2时：f（）＞f（1）=0，可得，从而得到 ＜lnn；设g（x）=
lnx-x，x∈[1，+∞），则对x∈[1，+∞）恒成立，故 n≥2时，由g（）＜g（1）=-1＜0，得
ln＜1+，由此利用放缩法证得lnn＜，从而证得不等式成立．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，将式子进行恰当的放缩，是解题的难点．