Question

函数f(x)=

x2+1

x-1

的值域为

(-∞，-

2

2

]∪(1，+∞)

．

Answer 1

分析：根据函数的特点采用三角换元法可得f(x)=

1

2 sin(θ- π 4 )

，再利用一般换元法令u=

2

sin(θ-

π

4

)，进而由三角函数的值域求得答案．

解答：解：设x=tanθ，-

π

2

＜θ＜

π

2

，由tanθ≠1可知θ≠

π

4

，
于是原函数可化为f(x)=

tan2θ+1

tanθ-1

=

sin2θ cos2θ +1

tanθ-1

=

sin2θ+cos2θ cos2θ

tanθ-1

=

1 cosθ

tanθ-1

=

1

sinθ-cosθ

=

1

2 sin(θ- π 4 )

．
令u=

2

sin(θ-

π

4

)，由三角函数的值域可知-

2

≤u＜1，且u≠0，
所以 f(x)=

1

u

∈(-∞，-

2

2

]∪(1，+∞)．
故答案为：(-∞，-

2

2

]∪(1，+∞)．

点评：本题为函数值域的求解，两步换元及三角函数的运算是解决问题的关键，属基础题．