Question

已知函数f(x)=mln(1+x)-

1

2

x2(m∈R)，满足f′（0）=1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f(x)=-

3

4

x2+x+c在[0，2]恰有两个不同的实根，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，根据f'（0）=1求出m的值代入函数f（x），然后根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求单调区间．
（2）将函数f（x）的解析式代入方程f(x)=-

3

4

x2+x+c得ln(1+x)+

1

4

x2-x-c=0，
然后组成函数h(x)=ln(1+x)+

1

4

x2-x-c，根据单调性和极值点求解．

解答：解：（1）f′(x)=

m

1+x

-x，∵f′（0）=1，∴m=1．
∴f′(x)=

1-x-x2

x+1

，
令f′(x)=0得x=

-1+ 5

2

或x=

-1- 5

2

（舍去）．
当x∈(-1，

-1+ 5

2

)时，f'（x）＞0
∴f（x）在(-1，

-1+ 5

2

)上是增函数；
当x∈(

-1+ 5

2

，+∞)时，f'（x）＜0
∴f（x）在(

-1+ 5

2

，+∞)上是减函数．
（2）f(x)=-

3

4

x2+x+c，
由ln(1+x)-

1

2

x2=-

3

4

x2+x+c，
得ln(1+x)+

1

4

x2-x-c=0，
设h(x)=ln(1+x)+

1

4

x2-x-c，h′(x)=

1

1+x

+

1

2

x-1=

x2-x

2(1+x)

当x∈（-1，0）时，h'（x）＞0，则h（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，则h（x）在（1，+∞）上单调递增；
而h（0）=-c，h(1)=ln2-

3

4

-c，h（2）=ln3-1-c
f(x)=-

3

4

x2+x+c在[0，2]恰有两个不同的实根等价于

h(0)=-c≥0 h(1)=ln2- 3 4 -c＜0 h(2)=ln3-1-c≥0

∴实数c的取值范围ln2-

3

4

＜c≤0．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．