Question

5．已知P（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，其左、右焦点分别为F₁、F₂，三角形PF₁F₂的内切圆切x轴于点M，则$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$-1
• B． 2$\sqrt{2}$+1
• C． 2$\sqrt{2}$-2
• D． 2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=4，转化为|AF₁|-|HF₂|=4，从而求得点M的横坐标，即可得出结论．

解答 解：P（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，可得b=$\sqrt{5}$，
∴F₁（-3，0）、F₂（3，0），
如图，设M（x，0），内切圆与x轴的切点是点M，PF₁、PF₂与内切圆的切点分别为N、H，
∵由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a=4，
由圆的切线长定理知，|PN|=|PH|，故|NF₁|-|HF₂ |=4，
即|MF₁|-|HF₂|=4，
设内切圆的圆心横坐标为x，则点M的横坐标为x，
故（x+3）-（3-x）=4，∴x=2．
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（2$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{5}$）•（3-2，0）=2$\sqrt{2}$-2，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键．