Question

已知数列{x_n}满足x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，n∈N^*；
（1）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：|xn+1-xn|≤

1

6

(

2

5

)n-1．

Answer 1

证明：（1）由x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，
∴x2=

2

3

，x3=

3

5

，x4=

5

8

，x5=

8

13

，x6=

13

21

，…
由x₂＞x₄＞x₆猜想：数列{x_2n}是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立
（2）假设当n=k时命题成立，即x_2k＞x_2k+2
易知x_2k＞0，那么x2k+2-x2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

=

x2k+3-x2k+1

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

x2k-x2k+2

(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)

＞0
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，|xn+1-xn|=|x2-x1|=

1

6

，结论成立
当n≥2时，易知0＜x_n-1＜1，∴1+xn-1＜2，xn=

1

1+xn-1

＞

1

2

∴(1+xn)(1+xn-1)=(1+

1

1+xn-1

)(1+xn-1)=2+xn-1≥

5

2

∴|xn+1-xn|=|

1

1+xn

-

1

1+xn-1

|=

|xn-xn-1|

(1+xn)(1+xn-1)

≤

2

5

|xn-xn-1|≤(

2

5

)2|xn-1-xn-2|≤≤(

2

5

)n-1|x2-x1|
=

1

6

(

2

5

)n-1