Question

等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

S1

．
（1）求a_n与b_n．
（2）证明：

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

小于

2

3

．

Answer 1

分析：本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答时：
（1）利用b₂+S₂=12和数列{b_n}的公比q=

S2

S1

．即可列出方程组求的q、a₂的值，进而获得问题的解答；
（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后利用放缩法即可获得问题的解答．

解答：解：（I）由已知可得

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

．
解得，q=3或q=-4（舍去），a₂=6
∴a_n=3+（n-1）3=3n
∴b_n=3^n-1
（2）证明：∵Sn=

n(3+3n)

2

∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

2

3

(1-

1

n+1

)
∵n≥1∴0＜

1

n+1

≤

1

2

∴

1

3

≤

2

3

(1-

1

n+1

)＜

2

3

故

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

点评：本题考查的是数列通项的求法与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、前n项和公式以及放缩法等知识．值得同学们体会反思．