Question

已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．
（1）若m=4，求函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；
（2）若函数y=f（x）在R上为增函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：本题（1）可以去掉绝对值符号，转化为分段二次函数，利用闭区间上求最值的方法，可以求得函数y=f（x）在区间[1，5]的值域；
     （2）同上，先去掉绝对值符号，转化为分段的二次函数，利用配方法与函数的单调性可以求得m的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=x|x-4|+2x-3=

x2-2x-3(x≥4) -x2+6x-3(x＜4)

=

(x-1)2-4(x≥4) -(x-3)2+6(x＜4)

（ 6分）
∵x∈[1，5]
∴f（x）在[1，3]上递增，在[3，4]上递减，在[4，5]上递增．
∵f（1）=2，f（3）=6，f（4）=5，f（5）=12，
∴f（x）的值域为[2，12]（ 10分）
（2）f（x）=x|x-m|+2x-3=

x2-(m-2)x-3(x≥m) -x2+(m+2)x-3(x＜m)

=

(x- m-2 2 )2-3-( m-2 2 )2(x≥m) -(x- m+2 2 )2-3+( m+2 2 )2(x＜m)

因为f（x）在R上为增函数，所以

m-2 2 ≤ m m+2 2 ≥ m

-2≤m≤2．  （15分）

点评：本题考查绝对值函数的单调性质，求值域及利用性质求参数的范围，解决的关键是先去掉绝对值符号，转化为分段的二次函数，再利用配方法与函数的单调性解决．