Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求证：当时，．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）求出原函数的导函数，对分类求解原函数的单调区间；

（2）把证当时，，转化为证，即证．构造函数，，，利用导数分别求得和，则结论得证．

（1）的定义域为，

．

当时，，在上单调递增；

当时，解，得，解，得．

在上单调递增，在，上单调递减；

当时，解，得，解，得．

在上单调递增，在，上单调递减；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在，上单调递减；

当时，在上单调递增，在，上单调递减；

（2）证明：当时，，

要证当时，，只要证．

只要证．

令，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减．

当时，（1），当且仅当时“”成立；

令，，则，

解，得，解，得，

在上单调递减，在上单调递增．

当时，．

．

即当时，．