Question

【题目】如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

图1 图2

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析．（Ⅱ）．（Ⅲ）．

【解析】试题分析：第一问根据等腰三角形的特征，可以得出，再结合面面垂直的性质定理，可以得出平面，再根据线面垂直的性质，可以得出以 ，之后根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出结果；第二问根据题中的条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得结果；第三问关于是否存在类问题，都是假设其存在，结合向量所成角的余弦值求得结果.

（Ⅰ）因为在△中，，分别为，的中点，

所以 ，．

所以，又为的中点，

所以 ．

因为平面平面，且平面，

所以 平面，

所以 ．

（Ⅱ）取的中点，连接，所以．

由（Ⅰ）得，．

如图建立空间直角坐标系．

由题意得，，，，．

所以，，．

设平面的法向量为，

则即

令，则，，所以．

设直线和平面所成的角为，

则．

所以 直线和平面所成角的正弦值为．

（Ⅲ）线段上存在点适合题意．

设，其中．[10分]

设，则有，

所以，从而，

所以，又，

所以．

令，

整理得．

解得，舍去．

所以 线段上存在点适合题意，且．