Question

设数列{a_n}、{b_n}满足a₁=4，a₂=

5

2

，a_n+1=

an+bn

2

，b_n=

2anbn

an+bn

．
（1）证明：a_n＞2，0＜b_n＜2（n∈N^*）；
（2）设c_n=log₃

an+2

an-2

，求数列{c_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，数列{a_nb_n}的前n项和为{P_n}，求证：S_n+T_n＜P_n+

8

3

．（n≥2）

Answer 1

分析：（1）an+1=

an+bn

2

，b_n+1=

2anbn

an+bn

，两式相乘得a_nb_n=a_n+1b_n+1，由此能够证明a_n＞2，0＜b_n＜2（n∈N^*）．
（2）由cn=log3

an+2

an-2

，得cn+1=log3

an+1+2

an+1-2

=2log3(

an+2

an-2

)，由此能够求出数列{c_n}的通项公式．
（3）由cn=2n-1，知an=2•

32n-1+1

32n-1-1

=2（1+

2

32n-1-1

）=2+

4

32n-1-1

，令dn=

4

32n-1-1

，数列{d_n}的前n项和为D_n，只要证明Dn≤

8

3

，（n≥2），就能得到S_n+T_n＜P_n+

8

3

．（n≥2）

解答：（本题满分16分）
（1）∵an+1=

an+bn

2

，b_n+1=

2anbn

an+bn

，
两式相乘得a_nb_n=a_n+1b_n+1，
∴{a_nb_n}为常数列，∴a_nb_n=a₁b₁=4；（2分）
∴bn=

4

an

，
∴an+1=

1

2

(an+

4

an

)＞2，
∴0＜b_n＜2；
（若a_n=2，则a_n+1=2，从而可得{a_n}为常数列与a₁=4矛盾）；（4分）
（2）∵cn=log3

an+2

an-2

，
∴cn+1=log3

an+1+2

an+1-2

=log3

1 2 an+ 2 an +2

1 2 an+ 2 an -2

=log3(

an+2

an-2

)2
=2log3(

an+2

an-2

)，
∴

cn+1

Cn

=

2log3( an+2 an-2 )

log3( an+2 an-2 )

=2，
∴{c_n}为等比数列，
∵c₁=1，∴cn=2n-1．（8分）
（3）由cn=2n-1，知an=2•

32n-1+1

32n-1-1

=2（1+

2

32n-1-1

）=2+

4

32n-1-1

，
令dn=

4

32n-1-1

，数列{d_n}的前n项和为D_n，很显然只要证明Dn≤

8

3

，（n≥2），
∵n≥2，∴32n-1+1≥4．
∵dn=

4

32n-1-1

=

4

(32n-1)2-1

=

4

(32n-x+1)(32n-x-1)

≤

1

4

dn-1，
∴d_n=

4

(32n-1+1)(32n-1)

≤

1

4

dn-1≤(

1

4

)2dn-2≤…≤(

1

4

)n-2d₂，
所以D_n=d₁+（d₂+d₃+…+d_n）≤d1+[1+

1

4

+(

1

4

)2+…+(

1

4

)n-2]d2
≤2+

1 2 [1-( 1 4 )n-2]

1- 1 4

=2+

2

3

[1-(

1

4

)n-2]=

8

3

-

2

3

(

1

4

)n-2＜

8

3

，
所以Sn＜2n+

8

3

．（14分）
又a_nb_n=4，b_n＜2，故p_n=4n，且T_n＜2n，
所以Sn+Tn＜2n+

8

3

+2n=4n+

8

3

=pn+

8

3

，n≥2．（16分）

点评：本题考查不等式的证明和数列的通项公式的求法，综合性强，难度大，是高考重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．